差分方程在生物数学的应用

发布时间：2022-10-05 21:42 热度：

　　在我国教育教学中，生物数学是一门具有独立性、完整性的学科，生命学科的研究离不开数学的理论和方法。其中差分方程有着很强的应用价值，特别是在生物数学中，针对很多实际问题的变量分析都是通过差分方程实现的。因此，本文分析生物数学的概况，阐述数学模型在生物数学的地位，指出差分方程在生物数学中的应用，探讨生物数学的现状、应用及发展前景，指出依据差分方程在验证生命进程的新规律和新发现的作用，以促使生物数学的研究更清晰，推动数学建模发展。

　　关键词：差分方程；生物数学；应用

　　近年来，随着互联网技术的快速发展，我国生物数学蓬勃发展，研究内容形成包括生态学、统计学、控制论等在内的一个庞大体系。对于生命现象数量变化规律的研究多是通过建立数学模型来开展，研究对象为宏观的有机物或群体专为微观的细胞群体。

　　一、生物数学的概况

　　1.生物数学的概念生物数学是运用数学方法，对生物学进行研究和解决生物问题，这门学科是生物与数学的结合。生物数学的内容主要包括两部分，分别为生物数学和数学生物学。生物数学重视数学，数学生物学重视生物学。生物数学是生命科学、生物学、农学、医学及公共卫生等学科与数学学科相互渗透形成的一门交叉学科，生物数学主要是对生命体和生命系统的数量性质和空间格局的研究。应用数学理论和数学方法对生命科学中问题的研究，生物数学不单是数学，也不是单纯的生命科学，而是两者交集产生的，对生物数学的学习和研究，不仅要具备扎实的数学基础，还要充分地了解生命科学。生物数学包括生物统计、生物信息论、生物系统论及生物控制论和生物方程等分支，同时生命现象复杂，从而导致生物数学中的数学问题也极为复杂，需要花费大量的时间和精力进行计算。由此，计算机成为解决生物数学问题最重要的工具。2.生物数学的发展关于生物数学的起源，最早可以追溯到我国北宋时期，1088年，沈括在作品《梦溪笔谈》中采用纳甲法，推出胎育之理的生物数学模型，成为当前史料记载中建立最早的种群动态学模型。之后，到16世纪明朝时期，著名的科学家徐光启，利用数学方法对人口增长进行估算。1760年国外利用数学方法对天花进行研究，在英国，神父Malthus在1798年还提出了著名的人口指数增长模型，并记录在《人口原理》一书中。这一数学模型虽然简单，但是为预测美国早期人口增长规律提供了准确的方法，并为生物数学研究工作的开展奠定基础。由malthus提出的人口模型，是早期研究生命科学中，运用动力学方法最为成功的案例。1901年，由英国统计学家Pearson创办的生物统计杂志，成为生物数学发展过程中一个重要的里程碑。1908年Ross提出疟疾定理，他得出的阀值结论，就是我们消灭疟疾，没必要消灭所有的疟蚊，只要将数量减少到某一特定的数量即可。对这一阀值的验证，ross通过构建数学模型，利用代表被感染的人口与蚊子的变化率两个常微分方程分析和描述疟疾等传播过程。之后，到1957年这一疟疾模型由英国专家Macdonald进行完善，并在此基础上引入基本的再生数概念，对各个传播因素进行细致的分析。1925年，由Fisher提出的方差分析方法，为数量遗传学的发展奠定扎实的基础。直到1931年，伏尔泰拉对Fisher的研究成果进行总结，并出版《生存竞争的数学原理》这一著作。生物数学中计算量庞大复杂的问题，通过利用计算机计算顺利求解，对此在生物数学发展史上，计算机成为一个重要基础。20世纪50年代以来，基于计算机的使用，许多生物数学的分支学科随之产生，例如数量分类学、生物控制论等内容。一直到20世纪70年代，国际上诸多生物数学杂志相继创刊，同时伴随种群生态群、神经生物学、流行病学等的研究中，开始采用大型数据库的处理方法和微分方程，推动生物数学的快速发展。互联网新技术的快速发展与广泛应用，推动生物数学的发展进入一个崭新的时代。

　　二、数学模型在生物数学的地位

　　在数学的发展历程中，数学具有基础数学、应用数学和计算数学三个理论体系。生命作为数字的游戏，伴随生物学的快速发展，在生命科学中数学发挥越来越重要的作用。未来不管是微观方向的发展，还是针对宏观方向的研究，其发展动力就是建立在精密的数学计算之上。在生物数学中，数学模型的建立，主要是为了研究、表现和描述、解决真实世界某些现象、特征及状况的数学问题。数学模型能够对生命物质的运动过程进行定量的描述。一个复杂的生物学问题，能够借助数学模型转变成数学问题，并通过逻辑推理、求解和运算，获得客观事物的结论，进而实现对生命现象的研究。

　　三、差分方程在生物数学中的应用

　　差分方程又叫作“递推关系式”，指的是含有位置函数和差分，但是不包括有导数的方程，且满足该方程的函数，才叫作差分方程。差分方程是微分方程的离散化，如若在实际问题中遇到变量是离散的，那么就要充分考虑差分方程模型。在对种群进行控制和预测过程中，因为时间与年龄都属于离散量，因而所使用的就是差分方程模型。在生物数学中的应用，差分方程模型被广泛应用在医学CT、市场经济分析和产品投入与产出等方面，可通过年龄分组，基于人口模型和种群增长变化进行统计，与微分方程模型一样，用于传染病的控制与防范，对人口进行控制和预测，预测种群增长，细胞增长速率等。例如，离散单种群模型是通过该生物种群以前一些时间点的数量推算下一时间点上的数量。记t时刻生物种群的数量为N(t)，N(t+1)为t+1时刻的生物种群的数量，则离散模型的一般形式是：N(t+1)=f（N(t)）。对于不同类型的生物，关键就是给出适当的函数f。特别地，Malthus模型为：N(t+1)=N(t)+bN(t)-dN(t)，或N(t+1)=(1+r)N(t)。其中，b为出生率，d为死亡率，r=b-d为人口的增长率。Logistic模型为：N(t+1)=N(t)+rN(t)（C-N(t)）。其中，r为內禀增长率，C为环境容纳量。

　　四、生物数学的现状、应用及发展前景

　　1.生物数学的研究现状在国内，对生物数学的研究深受越来越多的学者关注。通过对生物数学理论著作与资料及相关会议刊物的查找和翻阅发现，近年来生物学与数学、物理学及化学等学各科的交融渗透，生物学家从其他学科的技术成果中吸收相关经验，尤其是对统计学和计算机科学最新成果的应用，开始了对分子层面的研究。当前很多生物数学专家与研究者，利用数学模型对各类疾病细胞进行研究，例如癌细胞、肺结核、性病、疟疾等，并对细菌增长、细胞周期调节、基因调控等进行深入的研究。例如，假设在疾病传播国城中考察的纵深数不变，不考虑生死和迁移情况，以天为时间单位，人的总数N，每个病人每天接触的人数为常数λ，第n天健康人的百分比为xn，病人的百分比为yn。由假设xn+yn=1，那么在第n天，每个病人接触了λxn个健康人，换而言之，每个病人将λxn个健康人传染为病人。若第n天有Nyn个病人，那么健康人变成病人的人数为Nynλxn=λNyn（1-yn），基于此，可以得出一个叫作logistic模型的非线性差分方程。2.生物数学的应用近年来，关于生物数学研究与应用，微观方面主要是基于对分子层面的研究。生物数学可用于畜牧业的保种、对植物病虫害的控制等方面。上述已经介绍，很多团队利用生物数学手段对SARS、HIV、传染性肝炎、流感、癌细胞、肺结核、疟疾等传染病的研究，在研究中已经取得显著的成效。生物数学重要的分支包括生态与种群系统，种群动力学与传染病动力学是其中最为前沿的研究方向，通过研究种群规模、结构的时空演化、传染性疾病的传播等，发现其对种群系统演化的影响。最终，为保护和开发种群、预防和控制传染病，提供切实有效的科学依据和理论支撑。生物数学对于病虫害的防止和动植物的保护，发挥巨大的作用，也做出显著的共享，在对HIV的研究中也取得一定的成果。在国内，一些团队通过研究细胞中某些结构或成分对癌细胞的影响和作用，以获得抗克癌症的科技成果。有些专家团队致力于运用生物数学对外科组织移植、突触上的神经微丝传递等的研究。此外，世界卫生组织也强烈呼吁各界运用动力学模型，对疾病传播预防和控制的研究。总之，生物数学被生命科学高度重视，随着科技的进步被农业和医药医学管理高度重视，成为生命科学研究的重要动力源。当前在生物数学领域，除了形态丰富的动力学，差分方程的研究有着很大的空间，国内愈来愈多的生物数学团队将差分方程应用于生物数学，以求推动生物数学的多样性发展。3.生物数学的发展前景在社会生活的各个领域中对于生物数学的应用已经极为普遍，例如农林学、生命科学、医学、公共卫生、分子生物学等，生物数学成为人类从事生产实践的重要工具，对于推动科学研究发展发挥着重要作用，并最终促进国民经济的发展。当前我国生物数学依然处于探索与快速发展的阶段，在研究过程中虽然取得一些成果，但也不可避免地存在一些问题，正因为如此，才吸引着大量的学者和专家投入热情，未来我国的生物数学研究也一定能够赶超世界水平。

　　五、结论

　　数学为所有自然学科的学习奠定基础，其中生物属于偏文科的自然学科，将两者相结合构成生物数学，用以解决数学和生物学中存在的问题。生物数学这一完整的知识应用体系，在科技研究和生物进步方面发挥着重要的作用。综上所述，分别从差分方程和生物数学多个方面探索分析，全面介绍差分方程这一数学模型在生物数学中的应用，对解决种群增长、种群扩散、环境污染等问题发挥的重要作用，以带动越来越多的学者专家对生物数学的研究，在未来社会发展实践中，应用生物数学更好地解决和攻克越来越多的科技难题。

　　参考文献：

　　[1]刘琼，蒋燕.数学的应用——生物数学的蓬勃发展[J].钦州学院学报，2014

　　[2]廖祥，秦晋，刘清成.数学在生物学中的应用[J].科技向导，2011

　　[3]周玉梅.浅谈生物数学的发展及应用[J].课程教育研究，2018

　　作者：张一敏 单位：绥化学院

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